Question

（2012•武漢模擬）將拋物線 C₁：y=

1

2

（x+2）²-2關于x軸作軸對稱變換，再將變換后的拋物線沿y軸的正方向平移0.5個單位，沿x軸的正方向平移m個單位，得到拋物線C₂，拋物線C₁、C₂的頂點分別為B、D．
（1）直接寫出當m=0和m=4時拋物線C₂的解析式；
（2）分別求出符合下列條件的m的值：①線段BD經過原點；②點D剛好落在拋物線C₁上；
（3）拋物線C₂與x軸交于A、C兩點（A點在C點的左側），是否存在m的值，使四邊形ABCD為梯形？若存在，求出符合條件的m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線作x軸的軸對稱變換后，開口方向發(fā)生變化（變換前后，二次項系數互為相反數）、頂點坐標發(fā)生變化（變換前后，頂點坐標關于x軸對稱）；再根據函數圖象的平移規(guī)律（左加右減、上加下減）表達出C₂的解析式；最后直接將m的值代入求解即可．
（2）根據拋物線C₁的解析式能確定其頂點B的坐標，根據（1）的平移規(guī)律能確定拋物線C₂的頂點D的坐標；
①首先根據點O、B的坐標求出直線BD的解析式，將D點坐標代入即可確定m的值．
②直接將點D的坐標代入拋物線C₁的解析式中求解即可．
（3）觀察四邊形ABCD的四個頂點坐標后發(fā)現(xiàn)：A、C同在x軸上，而B、D并沒有關于AC對稱（或BD并沒有被AC平分），因此該四邊形不可能是平行四邊形，若四邊形ABCD是梯形，只需考慮一組對邊平行即可，分兩種情況考慮：①AB∥CD、②AD∥BC；可過B、D分別作x軸的垂線，將一組平行邊構建到一組相似三角形中，再根據相似三角形的對應邊成比例來進行求解．

解答：解：（1）點B為拋物線C₁的頂點，所以點B的坐標為（-2，-2）．
點B關于x軸作軸對稱變換得B₁，則點B₁的坐標為（-2，2），再將點B向上平移0.5個單位、向右平移m個單位后得：D（-2+m，2.5）；
拋物線在平移過程中，形狀沒有發(fā)生變化，而開口方向改變，故拋物線C₂的解析式為：y=-

1

2

（x+2-m）²+2.5；
當m=0時，拋物線C₂：y=-

1

2

（x+2）²+2.5；
當m=4時，拋物線C₂：y=-

1

2

（x-2）²+2.5．

（2）①因為線段BD經過原點，可設直線BD的解析式為：y=kx，已知點B（-2，-2），所以k=1；
所以-2+m=2.5，m=4.5．
②點D（-2+m，2.5）在拋物線C₁上，
∴2.5=

1

2

（-2+m+2）²-2
解之得，m=3或-3．

（3）如圖，分別過點B、D作x軸的垂線，垂足分別為N、M；則DM=2.5，BN=2．
∵拋物線C₂的解析式為：y=-

1

2

（x+2-m）²+2.5，
當y=0時，0=-

1

2

（x+2-m）²+2.5，解之得：x₁=m-2+

5

，x₂=m-2-

5

．
∴點A、C的坐標分別為 A（m-2-

5

，0）、C（m-2+

5

，0）
∴AC=（m-2+

5

）-（m-2-

5

）=2

5

∴AM=CM=

5

．
要使四邊形ABCD為梯形，分兩種情況：
①AB∥CD，此時△DMC∽△BNA，所以

AN

BN

=

CM

DM

，
∴AN=

4 5

5

，
∴MN=

5

5

；
∵點M在N點的右側，∴m=

5

5

．
②AD∥BC，此時△ADM∽△CBN，所以

CN

BN

=

AM

DM

，
∴CN=

4 5

5

∴MN=

5

5

．
∵點M在點N的左側，∴m=-

5

5

．
AC與BD相交于點E，
∵

DE

BE

=

DM

BN

=

5

4

∴AC沒有平分BD，四邊形ABCD的兩組對邊不可能同時平行．
綜上所述，存在m=

5

5

或m=-

5

5

時，四邊形ABCD為梯形．

點評：該題考查了函數圖象的平移、梯形的判定、相似三角形的應用等綜合知識，函數圖象的平移規(guī)律（左加右減、上加下減）是需要牢記的內容．