Question

如圖，二次函數(shù)過A（0，m）、B（-3，0）、C（12，0），過A點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線于一點(diǎn)D，線段OC上有一動點(diǎn)P，連接DP，作PE⊥DP，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求AD的長；
（2）若在線段OC上存在不同的兩點(diǎn)P₁、P₂，使相應(yīng)的點(diǎn)E₁、E₂都與點(diǎn)A重合，試求m的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)60°≤∠BQC≤90°時(shí)，求m的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可以得出答案；
（2）利用圓的相關(guān)知識可以知道：直徑所對應(yīng)的圓上的角為90°，所以由在線段OC上存在不同的兩點(diǎn)P₁、P₂，使相應(yīng)的點(diǎn)E₁、E₂都與點(diǎn)A重合可知：以AD為直徑的圓與BC有兩個交點(diǎn)．
（3）解出當(dāng)∠BQC=60°、∠BQC=90°時(shí)m的值，以這兩個值為邊界便可以確定出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵B（-3，0）、C（12，0）是關(guān)于拋物線對稱軸對稱的兩點(diǎn)，AD∥x軸，∴A、D也是關(guān)于拋物線對稱軸對稱的兩點(diǎn)．
∵A（0，m），
∴D（9，m），
∴AD=9；

（2）∵PE⊥DP，
∴要使線段OC上存在不同的兩點(diǎn)P₁、P₂，
使相應(yīng)的點(diǎn)E₁、E₂都與點(diǎn)A重合，也就是使以AD為直徑的圓與BC有兩個交點(diǎn)，
即r＞|m|．
∵r=

9

2

，
∴|m|＜

9

2

．
又∵m＞0，
∴0＜m＜

9

2

；

（3）設(shè)拋物線的方程為：y=a（x+3）（x-12），
又∵拋物線過點(diǎn)A（0，m），
∴m=-36a，
∴a=-

1

36

m，
∴y=-

1

36

m(x+3)(x-12)=-

1

36

m(x-

9

2

)2+

25

16

m，
∵tan∠BQM=

BM

QM

，QM=

25

16

m，
又∵60°≤∠BQC≤90°，
∴由拋物線的性質(zhì)得：30°≤∠BQM≤45°，
∴當(dāng)∠BQM=30°時(shí)，可求出m=

24

5

3

，
當(dāng)∠BQM=45°時(shí)，可求出m=

24

5

，
∴m的取值范圍為

24

5

≤m≤

24

5

3

．
答：m的取值范圍為

24

5

≤m≤

24

5

3

．

點(diǎn)評：本題屬于綜合類問題，主要考查了二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識．