Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，且OA=BA=2，∠OAB=120°，點(diǎn)N從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位得速度沿O→A→B向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從B出發(fā)，以每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位的速度沿B→O→y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△OMN的面積為S．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)并求出直線AB的解析式．
（2）請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OMN是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出此時(shí)t的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得AD，BD，根據(jù)線段的和差，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）分類討論：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，根據(jù)線段的和差，可得OM的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得M的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，線段的和差，可得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1：

作BD⊥OA于D點(diǎn)．
由OA=BA=2，∠OAB=120°，得
∠BAD=60°．
AD=AB•cos∠BAD=2×$\frac{1}{2}$=1，OD=OA+AD=3，
BD=ABisn∠BAD=2×sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$）．
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
直線AB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，ON=t，BM=$\sqrt{3}$t，OM=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
y_M=OM•sin∠BOA=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）sin30°=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
S=$\frac{1}{2}$ON•y_M=$\frac{1}{2}$•t•（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，ON=t-2，OM=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，x_N=（t-2）cos∠BAD+2=$\frac{1}{2}$（t-2）+2=$\frac{1}{2}$t+1．
S=$\frac{1}{2}$OM•x_N=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）•（$\frac{1}{2}$t+1）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\sqrt{3}$，
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t（0＜t≤2）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\sqrt{3}（2＜t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）OM=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，ON=t，
當(dāng)OM=ON時(shí)，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=t，解得t=3-$\sqrt{3}$；
當(dāng)ON=MN時(shí)，$\frac{OM}{OB}$=$\frac{ON}{OA}$，即$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2\sqrt{3}}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1；
當(dāng)OM=MN時(shí)，MO•cos∠MON=$\frac{1}{2}$ON，即（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cos30°=$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{3}{2}$；
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)M在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OMN能成為等腰三角形，此時(shí)t的值t₁=3-$\sqrt{3}$，t₂=1，t₃=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用銳角三角函數(shù)，線段的和差得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用銳角三角函數(shù)得出y_M，x_N是解題關(guān)鍵；（3）利用等腰三角形的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．