Question

已知關于的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無論k取何值，它總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形一邊a=3，另兩邊為方程的根，求k值及三角形的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,解一元二次方程-因式分解法,等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先計算判別式的值得到△=（k-2）²，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和判別式的意義判斷方程總有實數(shù)根；
（2）分類討論：當a=3是等腰三角形的底時，則△=0，即（k-2）²=0，解的k=2，再把k=2代入方程求出兩根，然后計算三角形周長；當a=3是等腰三角形的腰時，則a=3是方程的一個根，把x=3代入方程求出k．從而確定一元二次方程，然后解方程求出兩根，再計算三角形周長．

解答：（1）證明：∵△=[-（k+2）]²-4•2k=（k-2）²≥0，
∴無論k取何值，它總有實數(shù)根；
（2）解：當a=3是等腰三角形的底時，則△=0，即（k-2）²=0，解得k=2，則方程為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，此時等腰三角形的周長為2+2+3=7；
當a=3是等腰三角形的腰時，則a=3是方程的一個根，將x=3代入x²-（k+2）x+2k=0得，k=3，此時方程變?yōu)閤²-5x+6=0，解方程得x₁=2，x₂=3，所以等腰三角形的底為2，周長為3+3+2=8．

點評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．