Question

某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山．從山的側面進行堪測，迎面山坡線ABC由同一平面內(nèi)的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上．以過山腳（點C）的水平線為x軸、過山頂（點A）的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知AB所在拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+8，BC所在拋物線的解析式為y=

1

4

（x-8）²，且已知B（m，4）．

（1）設P（x，y）是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標；
（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階．這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．分別求出前兩級臺階的長度（精確到厘米）；
（3）在山坡上的700米高度（點D）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道站的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE=1600（米）．假設索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y=

1

28

（x-16）²．試求索道的最大懸空高度．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）設P的坐標為（x，y）代入公式求出x與y的等式關系，然后再把B的坐標代入即可求解；
（2）利用（1）中所求得出x₁的值，進而得出x₂，即可得出答案；
（3）首先得出懸空高度y與x的函數(shù)關系，進而利用二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：解：（1）∵P（x，y）是山坡線AB上任意一點，
∴y=-

1

4

x²+8，x≥0，
∴x²=4（8-y），x=2

8-y

∵B（m，4），
∴m=2

8-y

，
∴B（4，4）；

（2）在山坡線AB上，x=2

8-y

，A（0，8）
令y₀=8，得x₀=0；令y₁=8-0.002=7.998，
得x₁=2

0.002

≈0.08944，
故第一級臺階的長度為x₁-x₀=0.08944（百米）≈894（厘米）
同理，令y₂=8-2×0.002，
可得x₂≈0.12649，
故第二級臺階的長度為x₂-x₁=0.03705（百米）≈371（厘米）；

（3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由圖可知，
只有當索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值，索道在BC上方時，
懸空高度y=

1

28

（x-16）²-

1

4

（x-8）²
=

1

14

（-3x²+40x-96）
=-

3

14

（x-

20

3

）²+

8

3

，
當x=

20

3

時，y最大=

8

3

，
故索道的最大懸空高度為

800

3

m．

點評：本題屬二次函數(shù)應用中的難題．解決函數(shù)應用問題的一般步驟為：
（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數(shù)量關系；
（2）建模：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論；
（4）還原：將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題．