Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，
（1）將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形；
（2）若AD=3，CD=2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于∠ACB=∠ACB=45°，則AC=AB，∠BAC=90°，所以將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后AB落在AC處，只要作AE⊥DA，且AE=DA即可得到△ACE；
（2）連結(jié)DE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°，則可判斷△ADE為等腰直角三角形，所以DE=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，∠ADE=45°，于是得到∠CDE=90°，則可利用勾股定理計(jì)算出CE，從而得到BD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，△ACE為所作；

（2）連結(jié)DE，如圖，
∵△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，
∴AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，∠ADE=45°，
∵∠ADC=45°，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{22}$，
∴BD的長(zhǎng)為$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解決本題的關(guān)鍵是證明△CDE為直角三角形．