Question

4．如圖所示，已知點F的坐標為（3，0），點A，B分別是某函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點，點P是此圖象上的一動點．設點P的橫坐標為x，PF的長為d，且d與x之間滿足關系：d=5-$\frac{3}{5}$x（0≤x≤5），則下列結論：
①AF=2；  
②S_△POF的最大值是6；
③當d=$\frac{16}{5}$時，OP=$\frac{{12\sqrt{5}}}{5}$；  
④OA=5．
其中正確的有①②④（填序號）．

Answer 1

分析 當P和A重合時，PF=AF，則x-3=5-$\frac{3}{5}$x，求得OA=5，進一步求得AF=2，即可判斷①④；當P和B重合時△POF的面積最大，此時x=0，代入d=5-$\frac{3}{5}$x，求得BF的長，求得S_△POF的最大值，即可判斷②；把d=$\frac{16}{5}$代入d=5-$\frac{3}{5}$x求得點P的橫坐標為3，證得PF⊥OA，然后根據(jù)勾股定理即可求得OP的長，即可判斷③．

解答 解：當P和A重合時，PF=AF，
∴x-3=5-$\frac{3}{5}$x，
∴x=5，
∴OA=5，AF=OA-OF=5-3=2，故①④正確；
∵OF=3是定值，
∴當P和B重合時△POF的面積最大，
把x=0代入d=5-$\frac{3}{5}$x得d=5，則此時，BF=5，
∴OB=$\sqrt{B{F}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∴S_△POF的最大值=$\frac{1}{2}$OF•OB=$\frac{1}{2}$×3×4=6，故②正確；
當d=$\frac{16}{5}$時，則$\frac{16}{5}$=5-$\frac{3}{5}$x，解得x=3，
∵F（3，0），
∴PF⊥OA，
∴OP=$\sqrt{P{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{16}{5}）}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{481}}{5}$，故③錯誤．
故答案為①②④．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用等，熟練掌握一次函數(shù)的性質求得一次函數(shù)的最大值和最小值是解題的關鍵．