Question

3、如圖所示．在一條河流的北側(cè)，有A，B兩處牧場．每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后，折到B處放牧吃草．請問，飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？

Answer 1

分析：將河流看作直線l（如圖所示）．設(shè)羊群在河邊的飲水點為C′，作出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B由兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系即可求解．

解答：解：將河流看作直線l（如圖所示）．
設(shè)羊群在河邊的飲水點為C′，則羊群行走路程為AC′+C′B．
設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A′，由對稱性知C′A′=C′A．
因此，羊群行走的路程為A′C′+C′B．
線段A′C′與C′B是連接點A′與點B之間的折線．由線段的基本性質(zhì)知，連接點A′與點B之間的線中，線段A′B最短．設(shè)線段A′B與直線l交于C．那么，C點就是所選的最好的飲水地點．
作A關(guān)于直線l的對稱點A′．連接B，A′，并設(shè)線段BA′與l交于C．設(shè)C′是l上不同于C的另外一點，只要證明AC′+C′B＞AC+CB①即可．
利用線段基本性質(zhì)及點關(guān)于直線的對稱性知：AC′=C′A′及CA=CA′，
所以AC′+C′B=C′A′+C′B，AC+CB=CA′+CB=A′B．
而C′A′與C′B是連接A′，B的折線，而A′B則是連接這兩點之間的線段，
所以C′A′+C′B＞A′B=A′C+CB=AC+CB，
從而①成立，即選擇C點作為羊群的飲水點，羊群的行程最短．

點評：本題考查的是兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是河流看作直線l，作出點A關(guān)于l的對稱點，再根據(jù)兩點之間線段最短解答．