Question

17．將?ABCD（如圖）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在邊AB上的點(diǎn)D′，點(diǎn)C落到C′，且點(diǎn)C′、B、C在一直線上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值為$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，則∠C=∠BD′C′，接著由點(diǎn)C′、B、C在一直線上，AB∥CD得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判斷△C′BD′為等腰三角形，作C′H⊥D′B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根據(jù)余弦的定義得到cos∠HD′C′=$\frac{5}{13}$，由此得到∠A的余弦值．

解答 解：∵?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到?AB′C′D′，
∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′=∠BD′C′，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠C=∠DAB，
∴∠C=∠BD′C′，
∵點(diǎn)C′、B、C在一直線上，
而AB∥CD，
∴∠C=∠C′BD′，
∴∠C′BD′=∠BD′C′，
∴△C′BD′為等腰三角形，
作C′H⊥D′B，則BH=D′H，
∵AB=13，AD=3，
∴BD′=10，
∴D′H=5，
∴cos∠HD′C′=$\frac{D′H}{D′C′}$=$\frac{5}{13}$，
即∠A的余弦值為$\frac{5}{13}$．
故答案為$\frac{5}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明△C′BD′為等腰三角形．