Question

等邊△OAB和△AEF的一邊都在x軸上，雙曲線y=（k＞0）經過邊OB的中點C和AE的中點D．已知：OA=2，則△AEF的邊長為________．

Answer 1

-4+2
分析：過C作CG⊥x軸，過D作DH⊥x軸，由△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點，得到∠BOA=60°，OC=1，在直角三角形OCG中，利用三角函數定義求出OG與CG的長，確定出C的坐標，代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，設等邊△AEF的邊長為a，由△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點，得到∠EAF=60°，表示出AD，同理表示出AH與DH的長，由OA+AH表示出OH的長，進而表示出D的坐標，代入反比例解析式中求出a的值，即為三角形AEF的邊長．
解答：解：過C作CG⊥x軸，過D作DH⊥x軸，
∵△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點，
∴∠BOA=60°，OC=1，
在Rt△OCG中，sin∠BOA=，cos∠BOA=，
∴CG=OC•sin∠BOA=，OG=OC•cos∠BOA=，
∴C（，），
將C坐標代入反比例解析式中得：k=，
∴反比例解析式為y=，
設等邊△AEF的邊長為a，
∵△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點，
∴∠EAF=60°，AD=a，
同理得到AH=a，DH=a，
∴OH=OA+AH=2+a，
∴D（2+a，a），
代入反比例函數解析式得：a（2+a）=，即a（2+a）=1，
整理得：8a+a²=4，即a²+8a-4=0，
解得：a==-4±2，
而a=-4-2不合題意，舍去，故a=-4+2，
則等邊△AEF的邊長為-4+2．
故答案為：-4+2．
點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，三角函數定義，等邊三角形的性質，以及待定系數法求反比例解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．