Question

某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用為每日115元，根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出去的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得）．
（1）求函數(shù)y關(guān)于x的表達式及其x的范圍；
（2）試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？（必要時可參考以下數(shù)據(jù)28²=784，29²=841）

Answer 1

解：（1）當x≤6時，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
當6＜x≤20時，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x²+68x-115
綜上可知 y=，

（2）當3≤x≤6，且x∈N時，∵y=50x-115是增函數(shù)，
∴當x=6時，y_max=185元．
當6＜x≤20，x∈N時，y=-3x²+68x-115=，
∴當=11時，y_max=270元．
綜上所述，當每輛自行車日租金定在11元時才能使日凈收入最多，為270元．
分析：（1）函數(shù)y=f（x）=出租自行車的總收入-管理費；當x≤6時，全部租出；當6＜x≤20時，每提高1元，租不出去的就增加3輛；所以要分段求出解析式；
（2）由函數(shù)解析式是分段函數(shù)，在每一段內(nèi)求出函數(shù)最大值，比較得出函數(shù)的最大值．
點評：本題用分段函數(shù)模型考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)與應用，解決問題的關(guān)鍵是弄清題意，分清收費方式．