如圖，設(shè)點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓上的一點(diǎn)，AP交BC于Ｄ．


求證：（1）PA=PB+PC；


（2）PA2=BC2+PB·PC；


（3）．


 

			



			


		

		
		
	

		

			

				

				答案：
解析：
證明：（1）在PA上截取AE=PB，連結(jié)EC．



∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC．



∵∠CAE=∠PBC，∴△AEC≌△BPC．∴CE=CP,



∴∠CPA=∠CBA=60°．



∴△PCE是等邊三角形．



即PC=PE，∴PA=PB+PC．



（2）∵∠BPD=∠APC=60°,∠CAP=∠CBP,∴△PBD∽△PAC．



∴,即PA·PD=PB·PC①



又∵∠ABC=∠BPA=60°,∠BAD=∠BAP,∴△PAB∽△BAＤ．



∴,即PA·AD=AB2②



①+②,得PA（PD+AD）=AB2+PB·PC



又∵PA=PD+AD，AB=BC，∴PA2=BC2+PB·PC．



（3）由（2）中得，PA·PD=PB·PC，



∴，



由PA=PB+PC，代入上式，得，



∴．



 




提示：
證明PA=PB+PC，可在AP上截取AE=BP，然后再證明PE=PC即可．由結(jié)論（1）可知，要證明PA2=BC2+PB·PC，只要證明△PBD∽△PAC和△PAB∽



△BAD,得PA·PD=PC·PB，AB2=PA·AＤ．再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證．第（3）問(wèn)，可先把結(jié)論整理變形為，又由（1）知，PC+PB=PA，所以結(jié)論可變?yōu)?i>PD·PA=PB·PC，由△PBD∽△PAC即可證得．



 




				

							

			

			

			
			

		

	


		


		





			

		

		
				

				練習(xí)冊(cè)系列答案
		

		
				
			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
精英家教網(wǎng)如圖，已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=2．點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)t＞0時(shí)，直線(xiàn)FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G，GE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O．
（1）用t的代數(shù)式表示AG；
（2）設(shè)△AGE的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線(xiàn)段BH的三等分點(diǎn)？


			


			

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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
如圖，已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且. 點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)
1.用的代數(shù)式表示；
2.設(shè)△的面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；
3.當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)？
 


			


			

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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			


						
如圖，已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且. 點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒. 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)
【小題1】用的代數(shù)式表示；
【小題2】設(shè)△的面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；
【小題3】當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)？


			


			

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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2012屆浙江省杭州市余杭瓶窯學(xué)區(qū)九年級(jí)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析）
				題型：解答題
			


						
如圖，已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且. 點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒. 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)
【小題1】用的代數(shù)式表示；
【小題2】設(shè)△的面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；
【小題3】當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)？


			


			

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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省杭州市余杭瓶窯學(xué)區(qū)九年級(jí)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			


						
如圖，已知：等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且. 點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)



1.用的代數(shù)式表示；



2.設(shè)△的面積為，寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式；



3.當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)？






 


			


			

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