Question

（2004•遂寧）如圖，過⊙O上一點(diǎn)A的切線AC與⊙O直徑BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，過A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CAE=2∠B；
（2）已知：AC=8，且CD=4，求⊙O的半徑及線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由切線的性質(zhì)知：OA⊥AC，即∠OAC=90°，在Rt△OAC中，易證得∠CAE=∠AOE；而∠AOE是等腰△AOB的外角，即∠AOE=2∠B，等量代換后即可得出要證的結(jié)論；
（2）由切割線定理，易求得CB的長(zhǎng)；即可求出BD和半徑的長(zhǎng)，Rt△CAO中，OA、OC的長(zhǎng)已知，由勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形面積的不同表示方程，即可求出AE的值．
解答：（1）證明：連接OA，
∵CA切⊙O于點(diǎn)A，
∴∠OAC=90°，即：∠CAE+∠1=90°．
又AE⊥BC，
∴∠2+∠1=90°．
∴∠CAE=∠2．
又OA=OB，
∴∠3=∠B，
∴∠2=2∠B，
∴∠CAE=2∠B．

（2）∵AC是⊙O的切線，
∴CA²=CD•CB．
∴CB=．
∴⊙O的半徑OB==6．
Rt△ACO中，CO=CD+DO=10，OA=6，
由勾股定理，得：AC==8．
又S_△ACO=AC•AO=CO•AE．
∴AE===4.8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)及切割線定理，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．