Question

9．如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，點D在BC上，將△ACD沿直線AD翻折后，點C落在點E處，邊AE交邊BC于點F，如果DE∥AB，那么$\frac{CF}{BF}$的值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 作AM⊥BC垂足為M，先求出AM、BM、MC，再證明CA=CF，由此即可解決問題．

解答 解：如圖作AM⊥BC垂足為M，

∵△ADE是由△ADC翻折，
∴∠C=∠E=30°，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠BAF=30°，
∴∠AFC=∠B+∠BAF=75°，
∴∠CAF=180°-∠AFC-∠C=75°，
∴∠CAF=∠CFA=75°，
∴CA=CF=2，
在RT△AMC中，∵∠C=30°，AC=2，
∴AM=1，MC=$\sqrt{3}$，
∵∠B=∠BAM=45°，
∴MB=AM=1，
∴BC=1+$\sqrt{3}$，BF=1+$\sqrt{3}$-2=$\sqrt{3}$-1
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，解題時要善于發(fā)現(xiàn)特殊三角形，屬于中考�？碱}型．