Question

已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（1，0）、B（5，0），且函數(shù)有最小值-1．直線y=m（x-3）與二次函數(shù)圖象交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）證明：以CD為直徑的圓與直線y=-2相切；
（3）設(shè)以CD為直徑的圓與直線y=-2的切點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)C、D分別作直線y=-2的垂線，垂足為F、G、S₁、S₂、S分別表示△CEF、△DEG、△CDE的面積．證明：S=S₁+S₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=（1+5）÷2=3，所以此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），利用頂點(diǎn)式即可求得；
（2）此題要借助于根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可得點(diǎn)C，D是方程組

y=m(x-3) y= 1 4 (x-3)2-1

的解，由勾股定理得CD的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)即可證得；
（3）因?yàn)橹本�y=-2與以CD為直徑的圓相切，又切點(diǎn)為E．知，Rt△CED∽R(shí)t△CEF，Rt△DCE∽R(shí)t△DEG，求出S₁與S₂的值即可證得．

解答：（1）解：二次函數(shù)的解析式為y=

1

4

（x-3）²-1

（2）證明：（如圖）設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）
即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
聯(lián)立方程組

y=m(x-3) y= 1 4 (x-3)2-1

得x²-（6+4m）x+5+12m=O
由根與系數(shù)關(guān)系，得
x₁+x₂=6+4m，x₁•x₂=5+12m．①
過(guò)C點(diǎn)作DG的垂線，垂足為H，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₁）
在Rt△CHD中．由勾股定理得
CD=

CH2+HD2

=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

∵y₂-y₁=m（x₂-3）-m（x₁-3）=m（x₂-x₁）
∴CD=

(x2-x1)2+m2(x2-x1)2

=

1+m2

(x2-x1)2-4x1x2

將①代入上式得
CD=

1+m2

(6+4m)2-4(5+12m)

=4（m²+1）
又M到直線y=-2的距離為a=|y₀-（-2）|=y₀+2
=2+

1

2

（y₁+y₂）=2+

1

2

[m（x₁-3）+m（x₂-3）]
=2+

1

2

（x₁+x₂）m-3m
=2+2m²=

1

2

CD
CD為直徑的圓與直線y=-2相切．（8分）

（3）證明：由（2）知直線y=-2與以CD為直徑的圓相切，又切點(diǎn)為E．知，
Rt△CED∽R(shí)t△CEF，Rt△DCE∽R(shí)t△DEG，
因此，S₁=(

CE

CD

)2S，S2=(

DE

CD

)2S
S₁+S₂=[(

CE

CD

)2+(

DE

CD

)2]S
由勾股定理得(

CE

CD

)2+(

DE

CD

)2=1，S₁+S₂=S．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及圓的綜合知識(shí)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．