Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求經(jīng)過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
（2）若點M是拋物線上一點，且位于線段OC的上方，求點M到OC的最大距離．
（3）拋物線上是否存在一點P，使角OAP=∠BOA？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，過點C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后寫出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）求出直線OC的解析式，根據(jù)點M到OC的最大距離時，平行于OC的直線與拋物線只有一個交點，利用根的判別式求出m的值，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）分兩種情況求出直線AP與y軸的交點坐標，然后求出直線AP的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，
∴OC=OA=2

3

，∠BOC=∠BAO=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
過點C作CD⊥OA于D，
則OD=

1

2

×2

3

=

3

，
CD=2

3

×

3

2

=3，
所以，頂點C的坐標為（

3

，3），
設(shè)過點O，C，A拋物線的解析式為為y=ax²+bx，
則

( 3 )2a+ 3 b=3 (2 3 )2a+2 3 b=0

，
解得

a=-1 b=2 3

．
所以拋物線的解析式為y=-x²+2

3

x；

（2）∵C（

3

，3），
∴直線OC的解析式為y=

3

x，
設(shè)點M到OC的最大距離時，平行于OC的直線解析式為y=

3

x+m，
聯(lián)立

y= 3 x+m y=-x2+2 3 x

，
消掉未知數(shù)y并整理得，x²-

3

x+m=0，
△=（-

3

）²-4m=0，
解得m=

3

4

．
所以點M到OC的最大距離=

3

4

×

1

2

=

3

8

；

（3）∵∠OAP=∠BOA=30°，
∴2

3

×

3

3

=2，
∴直線AP與y軸的交點坐標為（0，2）或（0，-2），
當直線AP經(jīng)過點（2

3

，0）、（0，2）時，解析式為y=-

3

3

x+2，
聯(lián)立

y=-x2+2 3 x y=- 3 3 x+2

，
解得

x1=2 3 y1=0

，

x2= 3 3 y2= 5 3

．
所以點P的坐標為（

3

3

，

5

3

），
當直線AP經(jīng)過點（2

3

，0）、（0，-2）時，解析式為y=

3

3

x-2，
聯(lián)立

y=-x2+2 3 x y= 3 3 x-2

，
解得

x1=2 3 y1=0

，

x2=- 3 3 y2=- 7 3

．
所以點P的坐標為（-

3

3

，-

7

3

）．
綜上所述，存在一點P（

3

3

，

5

3

）或（-

3

3

，-

7

3

），使∠OAP=∠BOA．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了折疊的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點的方法，（2）判斷出點M到OC的距離最大是，平行于OC的直線與拋物線只有一個交點是解題的關(guān)鍵，（3）確定出直線AP的解析式是解題的關(guān)鍵．