Question

20．如圖，用火柴棒搭圖形，第1個圖形用了三根火柴棒搭出了一個等邊三角形，第二個圖形在第一個圖形的基礎上搭了一個每邊是一根火柴棒的平行四邊形，平行四邊形與三角形的公共邊只用一根火柴棒，依次交替搭下去搭出以后各個圖形，記第n個圖形用了a_n根火柴棒．

（1）填表：

n	an	n	an
1	3	2	6
3	8	4	11
5	13	6	16

（2）當n為奇數(shù)時，小明說：a_n=5n+3，小亮說：a_n=$\frac{5n+1}{2}$．你認為他們誰說得對？
     并求當n為偶數(shù)時的a_n（用含n的代數(shù)式表示）．
（3）a_n是否可取下列各值：2016，2015？若可取，求出此時n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形的變化，可知偶數(shù)下標比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標比前一個圖形多2根，套入數(shù)據(jù)即可得出結論；
（2）根據(jù)圖形的變化，可知偶數(shù)下標比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標比前一個圖形多2根，將n分奇偶處理，看1到n中有多少個偶數(shù)和奇數(shù)，從而得出結論；
（3）令a_n=2016，a_n=2015，套用（2）得出的結果即可結論．

解答 解：根據(jù)圖形的變化，可知圖2比圖1多3根火柴棒，圖3比圖2多2根火材棒，圖4比圖3多3根火柴棒…，即多的數(shù)目3、2交替．
（1）a₃=a₂+2=6+2=8，a₄=a₃+3=8+3=11，a₅=a₄+2=11+2=13，a₆=a₅+3=13+3=16．
故答案為：8；11；13；16．
（2）a₁=3=1+2．
當n為奇數(shù)時，1到n中有$\frac{n-1}{2}$個偶數(shù)，有$\frac{n+1}{2}$個奇數(shù)，
結合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：a_n=1+$\frac{n+1}{2}$×2+$\frac{n-1}{2}$×3=$\frac{5n+1}{2}$，
故小亮說的正確．
當n為偶數(shù)時，1到n中有$\frac{n}{2}$個偶數(shù)，有$\frac{n}{2}$個奇數(shù)，
結合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：a_n=1+$\frac{n}{2}$×2+$\frac{n}{2}$×3=$\frac{5n+2}{2}$．
（3）令a_n=2016，即$\frac{5n+1}{2}$=2016，或$\frac{5n+2}{2}$=2016，
解得：n=$\frac{4031}{5}$，或n=806；
令a_n=2015，即$\frac{5n+1}{2}$=2015，或$\frac{5n+2}{2}$=2015，
解得：n=$\frac{4029}{5}$，或n=$\frac{4028}{5}$．
綜上可知，a_n能取2016，此時n的值為806．

點評 本題考查了圖形的變化，解題的關鍵是：發(fā)現(xiàn)“偶數(shù)下標比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標比前一個圖形多2根”．本題屬于中檔題型，有點難度，難點再與如何去尋找規(guī)律，做形如此類題型時，不妨將數(shù)據(jù)分成奇偶兩組來討論．