Question

如圖（1）將一矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在y軸上，OA=4，OC=5，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)E的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與邊BC交于點(diǎn)F．

（1）試用含k的代數(shù)式表示E點(diǎn)、F點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）記S=S_△OEF-S_△BEF，請(qǐng)寫出S關(guān)于k的函數(shù)表達(dá)式．
（3）如圖（2）在x軸，y軸上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)G、點(diǎn)D，以直線DG為折痕，使得點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，過E點(diǎn)作EM∥y軸交DG于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)N，請(qǐng)?zhí)骄浚?br />   ①四邊形EDOM的形狀，并說明理由．
   ②設(shè)M（x，y），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
   ③當(dāng)菱形ODEM的對(duì)角線之比為1：

3

時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件可知E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可用k表示出其坐標(biāo)；
（2）利用（1）中表示出的坐標(biāo)，分別表示出BE、BF的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出三角形的面積，可得出S關(guān)于k的表達(dá)式；
（3）①設(shè)DM和OE交于點(diǎn)R，由條件可證得△DRO≌△MRE，可得EM=OD，可判斷四邊形EDOM為菱形；
②由菱形得OD=OG，利用x和y表示出這兩條線段可得出x和y之間的關(guān)系式；
③由條件可證明Rt△DOR∽R(shí)t△OEN，再利用相似比可求得ON的長(zhǎng)，從而可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意可知E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，代入反比例函數(shù)解析式可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（

k

4

，4），
F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，代入反比例函數(shù)解析式可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

k

5

）；
（2）由（1）知E、F的坐標(biāo)，則AE=

k

4

，BE=5-

k

4

，F(xiàn)C=

k

5

，BF=4-FC=4-

k

5

，
則S_△OEF=S_矩形OABC-S_△OAE-S_△OCF-S_△BEF，
所以S=S_△OEF-S_△BEF=S_矩形OABC-S_△OAE-S_△OCF-2S_△BEF
=OA•OC-

1

2

OA•AE-

1

2

OC•FC-BE•BF
=4×5-

1

2

×4×

k

4

-

1

2

×5×

k

5

-（5-

k

4

）（4-

k

5

）
=-

k2

20

+k，
其中k＞0；
（3）①四邊形EDOM為菱形，理由如下：

如圖，設(shè)DM和OE相交于點(diǎn)R，則可知OE⊥DM，且OER=RE
∵EM∥OA，
∴∠DOE=∠MEO，
在△DRO和△MRE中，

∠DOE=∠MEO OR=OE ∠DRO=∠MRE

，
∴△DRO≌△MRE（AAS），
∴OD=EM，且OD∥EM，
∴四邊形EDOM為平行四邊形，且OE⊥DM，
∴四邊形EDOM為菱形；
②由①可知OD=OG，點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），
則ME=OM=4-y，而MN=y，ON=x，
在Rt△ONM中由勾股定理可得：OM²=ON²+MN²，
即（4-y）²=x²+y²，整理可得：y=-

x2

8

+2；
③∵∠DRO=∠ENO=90°，∠DOR=∠OEN，
∴Rt△DOR∽R(shí)t△OEN，
∴

DR

ON

=

OR

EN

，
∴

DR

OR

=

ON

EN

，
當(dāng)

DM

OE

=

1

3

時(shí)，有

DR

OR

=

1

3

，則

ON

EN

=

1

3

，即

ON

4

=

1

3

，解得ON=

4 3

3

，即x=

4 3

3

，代入y=-

x2

8

+2解得y=

4

3

，此時(shí)M的坐標(biāo)為（

4 3

3

，

4

3

）；
當(dāng)

OE

DM

=

1

3

時(shí)，有

DR

OR

=

ON

EN

=

3

，即

ON

4

=

3

，解得ON=4

3

，即x=4

3

＞5，不合題意舍去；
綜上可知M點(diǎn)坐標(biāo)為（

4 3

3

，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)與三角形相似、菱形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在（1）（2）中用k表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，在（3）中的①注意對(duì)稱的性質(zhì)的利用，在②中利用勾股定理列出方程找到x和y之間的關(guān)系式是解題的突破口，在③中利用相似把已知對(duì)角線的比轉(zhuǎn)化成與x有關(guān)的比例是解題的關(guān)鍵．