【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠BAO=30°,以AB為一邊作等邊△ABE,作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D.
(1)連接BD,OE.求證:BD=OE;
(2)連接DE交AB于F.求證:F為DE的中點.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1)連接OD,易證△ADO為等邊三角形,再證△ABD≌△AEO即可.
(2)作EH⊥AB于H,先證△ABO≌△AEH,得AO=EH,再證△AFD≌△HFE即可.
證明:(1)連接OD,如圖1,
∵△ABE是等邊三角形,
∴AB=BE,∠EAB=60°,
∵DA⊥BA,
∴∠DAB=90°,
∵∠BAO=30°,
∴∠DAO=90°﹣30°=60°,
∴∠OAE=∠DAB,
∵MN垂直平分OA,
∴OD=DA,
∴△AOD是等邊三角形,
∴DA=OA,
∴△ABD≌△AEO(SAS),
∴BD=OE;
(2)證明:如圖2,作EH⊥AB于H,
∴∠EHA=∠DAF=90°,
∵AE=BE,
∴2AH=AB,
∵∠AOB=90°,∠BAO=30°,
∴2OB=AB,
∴AH=BO,
∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),
∴EH=AO=AD,
∵∠EHF=∠DAF=90°,∠EFH=∠DFA,
∴△HFE≌△AFD(AAS),
∴EF=DF,
∴F為DE的中點.
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【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點。
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關(guān)系并說明理由;
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論。
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【題目】甲、乙兩人進行羽毛球比賽,羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分,如圖,甲在O點正上方1m的P處發(fā)出一球,羽毛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=a(x﹣4)2+h,已知點O與球網(wǎng)的水平距離為5m,球網(wǎng)的高度為1.55m.
(1)當a=﹣ 時,①求h的值;
②通過計算判斷此球能否過網(wǎng).
(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后,羽毛球飛行到與點O的水平距離為7m,離地面的高度為 m的Q處時,乙扣球成功,求a的值.
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【題目】如圖,△ABC中,點E是BC上的一點,EC=2BE,點D是AC的中點.若△ABC的面積S△ABC=12,則S△ADF﹣S△BEF=_____.
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【題目】如圖,已知∠MON,點A,B分別在OM,ON邊上,且OA=OB.
(1)求作:過點A,B分別作OM,ON的垂線,兩條垂線的交點記作點D(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)連接OD,若∠MON=50°,則∠ODB= °.
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【題目】[知識生成]通常,用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積,可以得到一個恒等式.
例如:如圖①是一個長為,寬為的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.請解答下列問題:
(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是________________;
(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積:
方法1:________________________;方法2:_______________________;
(3)觀察圖②,請你寫出(a+b)2、、之間的等量關(guān)系是____________________________________________;
(4)根據(jù)(3)中的等量關(guān)系解決如下問題:若,,則=
[知識遷移]
類似地,用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積,也可以得到一個恒等式.
(5)根據(jù)圖③,寫出一個代數(shù)恒等式:____________________________;
(6)已知,,利用上面的規(guī)律求的值.
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【題目】如圖,數(shù)軸上點A、B表示的點分別為-6和3
(1)若數(shù)軸上有一點P,它到A和點B的距離相等,則點P對應(yīng)的數(shù)字是________(直接寫出答案)
(2)在上問的情況下,動點Q從點P出發(fā),以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左移動,是否存在某一個時刻,Q點與B點的距離等于 Q點與A點的距離的2倍?若存在,求出點Q運動的時間,若不存在,說明理由.
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【題目】某超市預(yù)測某飲料會暢銷、先用1800元購進一批這種飲料,面市后果然供不應(yīng)求,又用8100元購進這種飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若兩次進飲料都按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于2700元,那么銷售單價至少為多少元?
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【題目】如圖,拋物線y= +bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)D是y軸正半軸上的點,OD=3,在線段BD上任取一點E(不與B,D重合),經(jīng)過A,B,E三點的圓交直線BC于點F,
①試說明EF是圓的直徑;
②判斷△AEF的形狀,并說明理由.
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