Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別為邊AD、BC上的點，EF=

5

，點G、H分別為AB、CD邊上的點，連接GH，若線段GH與EF的夾角為45°，則GH的長為（　　）

• A、

  5

• B、

  2 10

  3

• C、

  2 5

  3

• D、

  7

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過點B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，可得∠KBM=45°，作∠MBN=45°交DC的延長線于N，求出∠ABK=∠CBN，然后利用“角邊角”證明△ABK和△CBN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=BK，AK=CN，利用勾股定理列式求出AK，過點M作MP⊥BN于P，可得△BMP是等腰直角三角形，設(shè)GH=BM=x，表示出MP，然后利用∠N的正切值列出方程求解即可．

解答：解：如圖，過點B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，
則BK=EF=

5

，BM=GH，
∵線段GH與EF的夾角為45°，
∴∠KBM=45°，
∴∠ABK+∠CBM=90°-45°=45°，
作∠MBN=45°交DC的延長線于N，
則∠CBN+∠CBM=45°，
∴∠ABK=∠CBN，
在△ABK和△CBN中，

∠ABK=∠CBN AB=BC ∠A=∠BCN=90°

，
∴△ABK≌△CBN（ASA），
∴BN=BK，AK=CN，
在Rt△ABK中，AK=

BK2-AB2

=

( 5 )2-22

=1，
過點M作MP⊥BN于P，
∵∠MBN=45°，
∴△BMP是等腰直角三角形，
設(shè)GH=BM=x，則BP=MP=

2

2

BM=

2

2

x，
∵tan∠N=

BC

CN

=

MP

PN

，
∴

2

1

=

2 2 x

5 - 2 2 x

，
解得x=

2 10

3

，
所以GH=

2 10

3

．
故選B．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．