Question

拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設(shè)拋物線y=ax²+bx+3的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移后拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線y=ax²+bx+3平移，平移后拋物線與x軸交于點E、F，與y軸交于點N，當E（-1，0）、F（5，0）時，在拋物線上是否存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)拋物線的頂點坐標求出直線OD的解析式，設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為（h，

1

2

h），就可以表示出平移后的解析式，當拋物線經(jīng)過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，從而得出△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0求出h=4，從而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)條件平移后求出拋物線的解析，求出直線FN的解析式，從而求出l₁，l₂的解析式，利用直線的解析式與拋物線的解析式構(gòu)建方程組就可以求出其交點坐標就實G點的坐標．

解答：解：（1）拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標為M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線的解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
當拋物線經(jīng)過點C時，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴當

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與直線CD唯一的公共點為（3，3），點（3，3）在射線CD上，符合題意．
∴平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是

-1- 145

4

≤h≤

-1+ 145

4

或h=4．

（3）平移后，當E（-1，0）、F（5，0）時，拋物線的解析式為：
y=（x+1）（x-5），即y=x²-4x-5．
當x=0時，y=-5．
∴N（0，-5）．
∴OF=ON=5，
假設(shè)存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

，
∴G點應(yīng)在與直線FN平行，且相距7

2

的兩條平行線l₁（如圖所示）和l₂（在直線FN下方且平行于直線FN）上．
由平行的性質(zhì)可以知道l1和l2與y軸的交點到直線FN的距離也為7

2

，如圖，設(shè)l1與y軸交于點P，過點P作PQ⊥FN，垂足為Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=∠OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7

2

，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=

2

PQ=14．
∴直線l1與y軸的交點坐標為P（0，9）．
同理可得：直線l2與y軸的交點坐標為R（0，-19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，-5），
∴容易求得直線FN的解析式為：y=x-5．
∴直線l₁、l₂的解析式分別為l₁：y=x+9；l₂：y=x-19．
根據(jù)題意，列方程組：①

y=x2-4x-5 y=x+9

，②

y=x2-4x-5 y=x-19

，
由①，得x²-5x-14=0，解得x₁=7，x₂=-2
∴

x1=7 y1=16

，

x2=-2 y2=7

．
∴G₁（7，16），G₂（-2，7）．
由②，得x²-5x+14=0．
∵△=（-5）2-4×1×14＜0，此方程無實數(shù)根．
∴在拋物線上存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

．點G的坐標為：
G₁（7，16），G₂（-2，7）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，勾股定理的運用及方程組與交點坐標的運用．