Question

如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交點(diǎn)O．求證：
（1）AD=BE；
（2）BM=AN；  
（3）△MNC為等邊三角形； 
（4）MN∥BD；  
（5）∠BOD=120° 
（6）CO平分∠BOD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD=BE；
（2）由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根據(jù)“ASA”判斷△ACN≌△BCM，所以AN=BM；
（3）由△ACN≌△BCM得到CN=BM，加上∠MCN=60°，則根據(jù)等邊三角形的判定即可得到△CMN為等邊三角形；
（4）由△CMN為等邊三角形得到∠CMN=60°，所以∠CMN=∠BCM，于是根據(jù)平行線的判定即可得到MN∥BC；
（5）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BOD=120°；
（6）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，由△ACD≌△BCE得到CQ=CH，于是根據(jù)角平分線的判定定理即可得到CO平分∠BOD．

解答：證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，

CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，

∠ACN=∠BCM CA=CB ∠CAN=∠CBM

，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM；
（3）∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN為等邊三角形；
（4）∵△CMN為等邊三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MN∥BC；
（5）∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BOD=120°；
（6）作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CO平分∠BOD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．