Question

11．如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上（OA＞OB），以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，C是$\widehat{AOB}$的中點(diǎn)，連結(jié)AC，BC．下列結(jié)論：
①AC=BC； 
②若OA=4，OB=2，則△ABC的面積等于5； 
③若OA-OB=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，-2）．
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 （1）先用弧的中點(diǎn)得出$\widehat{BC}=\widehat{AC}$，再用同圓中，等弧所對的弦相等得出AC=BC，
（2）先在Rt△AOB中，求出AB，再在等腰Rt△ABC中求出AC，BC，最后用直角三角形的面積公式求解即可；
（3）先構(gòu)造出全等三角形，從而得到AD=BE，CE=CD，再判斷出四邊形ODCE是正方形，即可．

解答 解：①∵C是$\widehat{AOB}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AC}$，
∴AC=BC，
∴①正確，
②在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}$=5，
∴②正確
③如圖，

過點(diǎn)C作CD⊥OA，DE⊥OB，
∴∠BEC=∠ADC=90°
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠ADC}\\{∠CBE=∠CAD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，CE=CD，
∵∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵CE=CD，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD=OD=CD=CE，
∵AD=OA-OD，BE=OB+BE=OB+OD，
∵AD=BE
∴OA-OD=OB+OD，
∵OA-OB=4，
∴OD=2，
∴CD=CE=2
∴C（2，-2）
∴③正確，
故選A．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出△BCE≌△ACD，也是解本題的難點(diǎn)．