Question

15．已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的兩個實(shí)數(shù)根，且x₁、x₂滿足不等式x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的兩個實(shí)數(shù)根，可推出△=（-2）²-4×2（1-3m）≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁•x₂=$\frac{1-3m}{2}$，x₁+x₂=1；且x₁、x₂滿足不等式x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，代入即可得到一個關(guān)于m的不等式，由此可解得m的取值范圍．

解答 解：∵方程2x²-2x+1-3m=0有兩個實(shí)數(shù)根，
∴△=4-8（1-3m）≥0，解得m≥$\frac{1}{6}$．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{1-3m}{2}$．
∵x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{1-3m}{2}$+2＞0，解得m＜$\frac{5}{3}$．
∴$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的判別式：若方程有兩個實(shí)數(shù)根，則△≥0，若方程沒有實(shí)數(shù)根，則△＜0．以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．