Question

在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a＜b），B、C、D、E四點都在直線m上，點B與點D重合．連接AE、FC，我們可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小關系證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．

解決下列問題：
（1）現將△DEF沿直線m向右平移，設BD=k（b-a），且0≤k≤1，如圖2．當BD=EC時，k=

 

．并利用此圖，仿照上述方法，證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）
（2）用四個與△ABC全等的直角三角形紙板進行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式．請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD、BF，構成同底的兩個三角形，再利用兩個三角形的邊之間的關系，代入三角形的面積公式求解即可；
（2）答案不唯一，舉例說明：根據直角三角形及矩形的面積公式求得面積后，再根據它們之間的數量關系來比較．

解答：答：（1）k=

1

2

；
證明：連接AD、BF．
可得BD=

1

2

（b-a），
∴S_△ABD=

1

2

BD•AB=

1

2

×

1

2

×（b-a）•a=

1

4

a（b-a），
S_△FBD=

1

2

BD•FE=

1

2

×

1

2

×（b-a）•b=

1

4

b（b-a）．
∵b＞a＞0，
∴S_△ABD＜S_△FBD，即

1

4

a（b-a）＜

1

4

b（b-a），
∴ab-a²＜b²-ab．
∴a²+b²＞2ab；
故填：

1

2

．

（2）答案不唯一，舉例：如圖，理由：
證明：延長BA、FE交于點I．
∵b＞a＞0，
∴S_矩形IBCE＞S_矩形ABCD，
即b（b-a）＞a（b-a）．
∴b²-ab＞ab-a²．
∴a²+b²＞2ab．
舉例：如圖，理由：
四個直角三角形的面積和S₁=4×

1

2

a•b=2ab，
大正方形的面積S₂=a²+b²．
∵b＞a＞0，
∴S₂＞S₁．∴a²+b²＞2ab．

點評：本題考查了幾何變換綜合題．做這類題目時，結合圖形來解答會降低題的難度．