Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)y=x²+bx+c的解析式．
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)∠PCB=90°，根據(jù)互相垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，可得BP的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)勾股定理，可得BC，CP的長(zhǎng)，根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案；
②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案．

解答 解：（1）將B、C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
這個(gè)二次函數(shù)y=x²+bx+c的解析式為y=x²-2x-3；
（2）四邊形POP′C為菱形，得
OC與PP′互相垂直平分，得
y_P=$\frac{OC}{2}$-$\frac{3}{2}$，即x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x₁=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
（3）∠PBC＜90°，
①如圖1，
當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，
BC的解析式為y=x-3，CP的解析式為y=-x-3，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-3-m），
將點(diǎn)P代入代入y═x²-2x-3中，
解得m₁=0（舍），m₂=1，即P（1，-4）；
AO=1，OC=3，CB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CP=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
此時(shí)$\frac{BC}{OC}$=$\frac{CP}{AO}$=3，△AOC∽△PCB；
②如圖2，
當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，作PH⊥y軸于H，作BD⊥PH于D，
BC的解析式為y=x-3，CP的解析式為y=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$x-3，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），
由K_cp•K_pb=-1，得m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）
此時(shí)，$\frac{PC}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$≠$\frac{CO}{AO}$=3，
以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC不相似；
綜上所述：P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用菱形的性質(zhì)得出P點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．