Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N，Rt△MON的外心為點(diǎn)A（

3

2

，-2），反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象過點(diǎn)A．
（1）求直線l的解析式；
（2）在函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上取異于點(diǎn)A的一點(diǎn)B，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接OB交直線l于點(diǎn)P．若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,待定系數(shù)法

分析：（1）由A為直角三角形外心，得到A為斜邊MN中點(diǎn)，根據(jù)A坐標(biāo)確定出M與N坐標(biāo)，設(shè)直線l解析式為y=mx+n，將M與N坐標(biāo)代入求出m與n的值，即可確定出直線l解析式；
（2）將A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，利用反比例函數(shù)k的意義求出△OBC的面積，由△ONP的面積是△OBC面積的3倍求出△ONP的面積，確定出P的橫坐標(biāo)，即可得出P坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵Rt△MON的外心為點(diǎn)A（

3

2

，-2），
∴A為MN中點(diǎn)，即M（3，0），N（0，-4），
設(shè)直線l解析式為y=mx+n（m≠0），
將M與N代入得：

3m+n=0 n=-4

，
解得：m=

4

3

，n=-4，
則直線l解析式為y=

4

3

x-4；

（2）將A（

3

2

，-2）代入反比例解析式y(tǒng)=

k

x

得：k=-3，
∴反比例解析式為y=-

3

x

，
∵B為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且BC⊥x軸，
∴S_△OBC=

3

2

，
∵S_△ONP=3S_△OBC，
∴S_△ONP=

9

2

，
設(shè)P橫坐標(biāo)為a（a＞0），
∴

1

2

ON•a=

9

2

，即a=

9

4

，
把x=a=

9

4

代入y=

4

3

x-4，得y=-1．
則P坐標(biāo)為（

9

4

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，反比例函數(shù)k的幾何意義，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．