Question

16．如圖，二次函數(shù)y=x²+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），△ABC的面積為$\frac{5}{4}$．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）過y軸上的一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），△ABC的面積為$\frac{5}{4}$，可求得AB的長，然后設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），利用交點(diǎn)式拋物線得解析式y(tǒng)=（x-a）（x-a-$\frac{5}{2}$），再把點(diǎn)C（0，-1）代入即可求得答案；
（2）由（1）易證得△AOC∽△COB，即可得△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB，繼而求得答案；
（3）分別從AD∥BC與BD∥AC，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵OC=1，△ABC的面積為$\frac{5}{4}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a+$\frac{5}{2}$，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=（x-a）（x-a-$\frac{5}{2}$），
代入點(diǎn)C（0，-1），得a（a+$\frac{5}{2}$）=-1．
解得：a=-$\frac{1}{2}$或a=-2．
∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²+px+q中，p＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)．
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-$\frac{1}{2}$，0），（2，0）．
∴拋物線的解析式為y=（x+$\frac{1}{2}$）（x-2）=x²-$\frac{3}{2}$x-1．

（2）如圖2，∵OA•OB=1，OC²=1，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB．
∴m的取值范圍是-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$．

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，（x+$\frac{1}{2}$）（x-2））．
①如圖3，過點(diǎn)A作BC的平行線交拋物線于D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E．
∵tan∠DAB=tan∠OBC，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{（x+\frac{1}{2}）（x-2）}{x+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$．
解得x=$\frac{5}{2}$．
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線于D，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F．
∵tan∠DBF=tan∠CAO，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{OC}{OA}$=2，
∴$\frac{（x+\frac{1}{2}）（x-2）}{2-x}$=2．
解得x=-$\frac{5}{2}$．
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，9）．
綜上所述，當(dāng)D的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，9）時(shí)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．

點(diǎn)評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識．注意分類討論思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．