Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC的延長線上，連結(jié)EF與邊CD相交于點G，連結(jié)BE與對角線AC相交于點H，AE=CF，BE=EG．
（1）求證：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）求證：

AH

GF

=

1

1+tan15°

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定．
（2）先確定△GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通過△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．
（3）因為△BEG是等邊三角形，∠ABC=90°，∠ABE=∠CBG，從而求得∠ABE=15°，然后通過求得△AHB∽△FGB，即可求得．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∵AE=CF，
∴四邊形ACFE是平行四邊形，
∴EF∥AC，

（2）連接BG，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠ACB=45°，
∵∠GCF=90°，
∴∠CGF=∠F=45°，
∴CG=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CG，
在△BAE與△BCG中，

AB=BC ∠BAE=∠BCG=90° AE=CG

，
∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE=BG，
∵BE=EG，
∴△BEG是等邊三角形，
∴∠BEF=60°，

（3）∵△BAE≌△BCG，
∴∠ABE=∠CBG，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴△AHB∽△FGB，
∴

AH

GF

=

AB

BF

=

1

BF AB

=

1

BC+CF AB

=

1

AB+AE AB

=

1

1+ AE AB

=

1

1+tan∠ABE

，
∵∠EBG=60°∠ABE=∠CBG，∠ABC=90°，
∴∠ABE=15°，
∴

AH

GF

=

1

1+tan15°

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，連接BG是本題的關(guān)鍵．