Question

15．已知拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c．
（1）若拋物線與x軸總有交點(diǎn)，求c的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₂＞x₁，若x₂-x₁=5，求c的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸總有交點(diǎn)，由判別式可得c的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系和x₂-x₁=5，得到關(guān)于c的方程，解方程即可求解；
（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類(lèi)討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)M（-3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC； ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸總有交點(diǎn)，
∴△=（-$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）c=$\frac{9}{4}$+2c≥0，
解得c≥-$\frac{9}{8}$，
∴c的取值范圍是c≥-$\frac{9}{8}$；

（2）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-3，x₁•x₂=$\frac{c}{-\frac{1}{2}}$=-2c，
∴（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+8c=25，
解得c=2；

（3）①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{OB}{OC}$，
又∵∠COA=∠BOC=90°，
∴△ABC～△ACC～△CBO，
∴C點(diǎn)就符合題意，即M₁（0，2）；
②根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)（-3，2）也符合題意，即M₂（-3，2）；
③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè)$M（{n，-\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}n+2}）$，則N（n，0），
∴$MN=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2，AN=n+4$
當(dāng)$\frac{MN}{AN}=\frac{1}{2}$時(shí)，$MN=\frac{1}{2}AN$，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=\frac{1}{2}（{n+4}）$，
解得：n₁=-4（舍去），n₂=2，
即得到M₃（2，-3）；
④當(dāng)$\frac{MN}{AN}=\frac{2}{1}$時(shí)，MN=2AN，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=2（{n+4}）$
解得：n₁=-4（舍去），n₂=5，
即得到M₄（5，-18）．
綜上所述：符合題意的點(diǎn)有四個(gè)，它們是：M₁（0，2）、M₂（-3，2）、M₃（2，-3）、M₄（5，-18）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．