Question

2．已知拋物線C：y=x²+（2m-1）x-2m．
（1）若m=1，拋物線C交x軸于A，B兩點，求AB的長；
（2）若一次函數(shù)y=kx+mk的圖象與拋物線C有唯一公共點，求m的取值范圍；
（3）若m=2，M，N是拋物線C上兩動點（點M在左，點N在右），分別過點M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點P，點M，N運動時，且始終保持MN=$\sqrt{2}$不變，當△MNP得面積最大時，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線解析式令y=0，求出拋物線與x軸的交點，即可求出線段AB的長．
（2）列方程組根據(jù)△=0，得：-4m²-4m=（k+1）²，設y=-4m²-4m由y≥O確定m的取值范圍．
（3）由題意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，設M（a，a²+3a-4）則N（a+1，a²+3a+1）或（a+1，a²+3a-5），代入拋物線的解析式即可求解．

解答 解：（1）m=1時，拋物線為：y=x²+x-2，
令y=0得到：x²+x-2=0，解得x=-2或1，
所以點A（-2，0），點B（1，0），
所以AB=3．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+mk}\\{y={x}^{2}+（2m-1）x-2m}\end{array}\right.$消去y得到：x²+（2m-1-k）x-2m-mk=0，
∵一次函數(shù)y=kx+mk的圖象與拋物線有唯一公共點，
∴△=0，
∴（2m-1-k）²+8m+4mk=0，
整理得：-4m²-4m=（k+1）²，
∵（k+1）²≥0，
設y=-4m²-4m，當y≥0時，-1≤m≤0，
∴-1≤m≤0時，一次函數(shù)y=kx+mk的圖象與拋物線C有唯一公共點．
（3）∵△PMN是直角三角形，斜邊MN=$\sqrt{2}$，
∴當△PMN面積最大時，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，
由題意設M（a，a²+3a-4）則N（a+1，a²+3a-3）或（a+1，a²+3a-5），
∴a²+3a-3=（a+1）²+3（a+1）-4或a²+3a-5=（a+1）²+3（a+1）-4，
∴a=0或-$\frac{5}{2}$．
①當a=0時，M（0，-4），N（1，-3），設直線MN為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，所以直線MN為y=x-4．
②當a=-$\frac{5}{2}$時，M（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），設直線MN為y=k′x+b′，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}k′+b′=-\frac{21}{4}}\\{-\frac{3}{2}k′+b′=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-1}\\{b′=-\frac{31}{4}}\end{array}\right.$，所以直線MN為y=-x-$\frac{31}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的有關知識、一次函數(shù)、直角三角形等知識，掌握兩個函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題是解題的關鍵，還要記住一個結論斜邊為定值時直角邊相等時面積最大．