(2012•西湖區(qū)一模)如圖,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°.O是AB的中點(diǎn),⊙O與AC,BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E.點(diǎn)F是⊙O與AB的一個交點(diǎn),連DF并延長交CB的延長線于點(diǎn)G.則∠CDG=
67.5°
67.5°
,若AB=4
2
,則BG=
2
2
-2
2
2
-2
分析:連接OD,由AC為圓O的切線,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直,又AC=BC,且∠C=90°,得到三角形ABC為等腰直角三角形,得到∠A=45°,在直角三角形ABC中,由AC與BC的長,根據(jù)AB的長,又O為AB的中點(diǎn),從而得到AO等于BO都等于AB的一半,求出AO與BO的長,再由OB-OF求出FB的長,同時由OD和GC都與AC垂直,得到OD與GC平行,得到一對內(nèi)錯角相等,再加上對頂角相等,由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似,由相似得比例,把OD,OF及FB的長代入即可求出GB的長.
解答:解:連接OD.
∵CD切⊙O于點(diǎn)D,
∴∠ODA=90°,∠DOA=45°,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD=
1
2
∠DOA=22.5°,
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°.
∵AC為圓O的切線,
∴OD⊥AC,
又O為AB的中點(diǎn),∴AO=BO=
1
2
AB=2
2
,
∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2
2
×
2
2
=2,
∴BF=OB-OF=2
2
-2.
∵GC⊥AC,OD⊥AC,
∴OD∥CG,
∴∠ODF=∠G,又∠OFD=∠BFG,
∴△ODF∽△BGF,
OD
BG
=
OF
BF
,即
2
BG
=
2
2
2
-2
,
∴BG=2
2
-2.
故答案為:67.5°,2
2
-2.
點(diǎn)評:此題考查了切圓的綜合知識.在運(yùn)用切線的性質(zhì)時,若已知切點(diǎn),連接切點(diǎn)和圓心,得垂直;若不知切點(diǎn),則過圓心向切線作垂直,即“知切點(diǎn)連半徑,無切點(diǎn)作垂直”.圓與相似三角形,及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線有關(guān)的性質(zhì)與判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點(diǎn),故要求學(xué)生把所學(xué)知識融匯貫穿,靈活運(yùn)用.
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