Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（3，-3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使P到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)P₀的坐標(biāo)．
（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積等于以點(diǎn)A、P₀、B、C為頂點(diǎn)的四邊形面積的三分之一？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-3）²-3，依題意有：
a（1-3）²-3=0，a=，
∴該拋物線的解析式為：y=（x-3）²-3=x²-x+．

（2）設(shè)B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，則B′（-1，0）；
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得；
∴y=-x-；
故P₀（0，-）．

（3）由（1）的拋物線知：
y=x²-x+=（x-1）（x-5），
故C（5，0）；
∵S_{四邊形AP0BC}=S_△AB′C-S_△BB′P0
=×6×3-×2×=；
∴S_△BCM=S_{四邊形AP0BC}=；
易知BC=4，則|y_M|=；
當(dāng)M的縱坐標(biāo)為時(shí)，x²-x+=，
解得x=3+，x=3-；
當(dāng)M的縱坐標(biāo)為-時(shí)，x²-x+=-，
解得x=3+，x=3-；
故符合條件的M點(diǎn)有四個(gè)，它們的坐標(biāo)分別是：
M₁（3+，），M₂（3-，），M₃（3+，-），M₄（3-，-）．
分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將其解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求得該拋物線的解析式．
（2）取B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，其坐標(biāo)易得，那么直線AB′與y軸的交點(diǎn)即為所求的P₀點(diǎn)，可先求出直線AB′的解析式，進(jìn)而可求出P₀的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，易求得C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可由△B′AC、△B′P₀B的面積差求出四邊形AP₀BC的面積，進(jìn)而可得到△BCM的面積，BC的長(zhǎng)已求得，根據(jù)其面積可求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等，綜合性強(qiáng)，難度中上．