已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A(3,-3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(1,0).
(1)求拋物線的解析式.
(2)P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使P到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)P0的坐標(biāo).
(3)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.在拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得△MBC的面積等于以點(diǎn)A、P0、B、C為頂點(diǎn)的四邊形面積的三分之一?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-3)2-3,依題意有:
a(1-3)2-3=0,a=
∴該拋物線的解析式為:y=(x-3)2-3=x2-x+

(2)設(shè)B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為B′,則B′(-1,0);
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b,則有:

解得;
∴y=-x-;
故P0(0,-).

(3)由(1)的拋物線知:
y=x2-x+=(x-1)(x-5),
故C(5,0);
∵S四邊形AP0BC=S△AB′C-S△BB′P0
=×6×3-×2×=;
∴S△BCM=S四邊形AP0BC=;
易知BC=4,則|yM|=
當(dāng)M的縱坐標(biāo)為時(shí),x2-x+=,
解得x=3+,x=3-;
當(dāng)M的縱坐標(biāo)為-時(shí),x2-x+=-,
解得x=3+,x=3-;
故符合條件的M點(diǎn)有四個(gè),它們的坐標(biāo)分別是:
M1(3+,),M2(3-,),M3(3+,-),M4(3-,-).
分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可將其解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入其中,即可求得該拋物線的解析式.
(2)取B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′,其坐標(biāo)易得,那么直線AB′與y軸的交點(diǎn)即為所求的P0點(diǎn),可先求出直線AB′的解析式,進(jìn)而可求出P0的坐標(biāo).
(3)根據(jù)拋物線的解析式,易求得C點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可由△B′AC、△B′P0B的面積差求出四邊形AP0BC的面積,進(jìn)而可得到△BCM的面積,BC的長已求得,根據(jù)其面積可求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對值,將其代入拋物線的解析式中即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).
點(diǎn)評:此題考查的知識點(diǎn)有:二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法等,綜合性強(qiáng),難度中上.
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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

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已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

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2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有(  )

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時(shí)y1的取值范圍.

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