Question

9．如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+$\sqrt{3}$，若AC=CD，則邊AD的長為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作∠DCH=∠ACB，并過D作DH⊥CH于H，延長HD交BA延長線于K，由AAS證明△ABC≌△DHC，得出BC=HC，AB=DH，證出四邊形BCKH是正方形，得出∠K=90°，BK=HK，由已知條件得出AK=DK=BC-AB=$\sqrt{3}$，△ADK是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD即可．

解答 解：作∠DCH=∠ACB，并過D作DH⊥CH于H，延長HD交BA延長線于K，如圖所示：
設(shè)∠DCH=∠ACB=x，
∵AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=x+45°，
∴∠ACD=180°-2（x+45°）=90°-2x，
∴∠BCH=90°，
在△ABC和△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DCH}&{\;}\\{∠B=∠DHC=90°}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DHC（AAS），
∴BC=HC，AB=DH，
∴四邊形BCKH是正方形，
∴∠K=90°，BK=HK，
∴AK=DK=BC-AB=$\sqrt{3}$，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{A{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．