Question

2．如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F，然后展開(kāi)鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．
（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕△BEF”形狀是一個(gè)等腰三角形；
（2）當(dāng)“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，在圖（2）中，作出這個(gè)“折痕△BEF”（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，并寫(xiě)出作法）；
（3）如圖③，在矩形ABCD中，若AB=2，BC=4，當(dāng)“折痕△BEF”的頂點(diǎn)F和點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)折痕與AB交于點(diǎn)N，求AN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊可得EF=BF，進(jìn)而可得△BEF是等腰三角形；
（2）根據(jù)折痕三角形的定義可得折痕是BE的垂直平分線，因此連接BE，作BE的垂直平分線MN，MN與BC的交點(diǎn)就是F，再連接即可；
（3）由折疊可得：BC=EC，BN=NE，然后計(jì)算出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE長(zhǎng)，設(shè)BN=x，則EN=x，AN=2-x，再利用勾股定理計(jì)算出x的值，然后可得答案．

解答 解：（1）如圖①，根據(jù)折疊可得EF=BF，因此△BEF是等腰三角形；
故答案為：等腰；

（2）如圖②，根據(jù)折痕△BEF可得折痕是BE的垂直平分線，因此連接BE作BE的垂直平分線MN，交BC于F，再連接EF即可得到折痕△BEF；

（3）如圖③，由折疊可得：BC=EC，BN=NE，
∵BC=4，
∴EC=4，
在Rt△DEC中，ED=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∵AD=BC=4，
∴AE=4-2$\sqrt{3}$，
設(shè)BN=x，則EN=x，AN=2-x，
x²=（2-x）²+（4-2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=8-4$\sqrt{3}$，
∴AN=2-（8-4$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握折痕是BE的垂直平分線，找準(zhǔn)折疊后哪些線段是對(duì)應(yīng)相等的．