Question

11．（1）當b²-4ac≥0時，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
（2）運用以上發(fā)現，解決下面的問題：
①已知一元二次方程3x-2x-2014=0的兩個根為x₁、x₂，則x₁+x₂=$\frac{2}{3}$；
②已知x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的兩根，試求（1+x₁）（1+x₂）和x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程根與系數的關系可直接得出x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
（2）①根據一元二次方程根與系數的關系x₁+x₂=-$\frac{a}$代入計算即可，
②根據一元二次方程根與系數的關系得出x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，再根據（1+x₁）（1+x₂）=1+x₂+x₁+x₁x₂，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂代入計算即可．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
故答案為：-$\frac{a}$，$\frac{c}{a}$；
（2）①∵一元二次方程3x-2x-2014=0的兩個根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$；
②∵x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的兩根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，
∴（1+x₁）（1+x₂）=1+x₂+x₁+x₁x₂=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{2}$=-2，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{2}$）²-2×（-$\frac{7}{2}$）=$7\frac{1}{4}$．

點評 此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．