Question

14．如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=6，OC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最��？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點(diǎn)間的距離為|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{{y}_{1}）}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=4，則CF=6-4=2，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出．
（2）頂點(diǎn)為F的坐標(biāo)根據(jù)第一問可以求得是（2，4），因而拋物線的解析式可以設(shè)為y=a（x-2）²+4，以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，應(yīng)分EF是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論．
（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答 解：（1）由題意可得：E（6，2）；F（2，4）

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），其中n＞0，
∵頂點(diǎn)F（2，4），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+4（a≠0）．
①如圖1，
當(dāng)EF=PF時(shí)，EF²=PF²，
∴2²+（n-4）²=20．
解得n₁=0；n₂=8．
∴P（0，8）或（0，0）．
∴8=a（0-2）²+4或0=a（0-2）²+4，
解得a=1或a=-1．
∴拋物線的解析式為y=±（x-2）²+4；
②如圖2，
當(dāng)EP=FP時(shí)，EP²=FP²，
∴（4-n）²+4=（2-n）²+36．
解得：n=-5，
可求得a=-$\frac{9}{4}$，
③當(dāng)EF=EP時(shí)，這種情況不存在．
綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=±（x-1）²+2或y=-$\frac{9}{4}$（x-2）²+4；

（3）存在點(diǎn)M，N，使得四邊形MNFE的周長最�。�
如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
∴E′（6，-2），F(xiàn)′（-2，4），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=8，BE′=6．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，．
又∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴FN+MN+ME+EF=10+2$\sqrt{5}$，
此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值是：10+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利益軸對稱求最短路線和勾股定理等知識(shí)，注意求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題．