Question

【題目】某網(wǎng)店專售一款電動(dòng)牙刷，其成本為20元/支，銷售中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（支）與銷售單價(jià)x（元/支）之間存在如圖所示的關(guān)系．

（1）請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該款電動(dòng)牙刷銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（3）近期武漢爆發(fā)了“新型冠狀病毒”疫情，該網(wǎng)店店主決定從每天獲得的利潤(rùn)中抽出 200 元捐贈(zèng)給武漢，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于550元，如何確定該款電動(dòng)牙刷的售單價(jià)？

Answer 1

【答案】（1）y=－10x+400；（2）單價(jià)定為30元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)為1000元；（3）銷售單價(jià)每支不低于25元，且不高于35元時(shí)，可保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于550元．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將（30，100），（35，50）代入可得函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式并配方可得最值；

（3）畫出函數(shù)的大致圖象，當(dāng)W=550時(shí)x=25或35，知25≤x≤35時(shí)，W≥550．

（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

將（30，100），（35，50）代入y=kx+b，得，

解得，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=－10x+400；

（2）設(shè)該款電動(dòng)牙刷每天的銷售利潤(rùn)為w元，

由題意得 w=（x－20）·y=（x－20）（－10x+400）=－10x2+600x－8000 =－10（x－30）2 +1000，

∵－10＜0，

∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，w最大值為1000．

答：該款電動(dòng)牙刷銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)為1000元；

（3）設(shè)捐款后每天剩余利潤(rùn)為 z 元，

由題意可得z=－10x2+600x－8000－200 =－20x2+600x－8200，

令z=550，

即－10x2+600x－8200=550，

解得x1=25，x2=35，

畫出每天剩余利潤(rùn)z關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系圖象如解圖，

由圖象可得:當(dāng)該款電動(dòng)牙刷的銷售單價(jià)每支不低于25元，且不高于35元時(shí)，可保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于550元．