Question

（2013•泉州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A（-6，0），過(guò)點(diǎn)E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點(diǎn)H、G；
①根據(jù)上述語(yǔ)句，在圖1上畫(huà)出圖形，并證明

OH

BG

=

EO

AE

；
②過(guò)點(diǎn)G作直線GD∥AB，交x軸于點(diǎn)D，以圓O為圓心，OH長(zhǎng)為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點(diǎn)），使它與GD有公共點(diǎn)P．如圖2所示，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，證明：

OP

BG

=

1

2

，并通過(guò)操作、觀察，直接寫(xiě)出BG長(zhǎng)度的取值范圍（不必說(shuō)理）；
（3）在（2）中，若點(diǎn)M（2，

3

），探索2PO+PM的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形與平行線的性質(zhì)，易求線段EF的長(zhǎng)度．
（2）①首先依題意畫(huà)出圖形，如答圖1所示．證明△OFH∽△BFG，得

OH

BG

=

OF

BF

；由EF∥AB，得

OF

BF

=

EO

AE

．所以

OH

BG

=

EO

AE

；
②由OP=OH，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明

OH

BG

=

1

2

．根據(jù)①中的結(jié)論，易得

OH

BG

=

EO

AE

=

1

2

，故問(wèn)題得證．
（3）本問(wèn)為探究型問(wèn)題，利用線段性質(zhì)（兩點(diǎn)之間線段最短）解決．如答圖2所示，構(gòu)造矩形，將2PO+PM轉(zhuǎn)化為NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，2OP+PM的值最小，最小值為8．

解答：（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=

1

2

∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴

EF

AB

=

OE

OA

，即

EF

6

=

2

6

，
∴EF=6×

2

6

=2．

（2）①畫(huà)圖，如答圖1所示：

證明：∵四邊形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴

OH

BG

=

OF

BF

；
∵EF∥AB，
∴

OF

BF

=

EO

AE

；
∴

OH

BG

=

EO

AE

．
②證明：∵半圓與GD交于點(diǎn)P，
∴OP=OH．
由①得：

OP

BG

=

OH

BG

=

EO

EA

，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴

OP

BG

=

EO

EA

=

1

2

．
通過(guò)操作、觀察可得，4≤BG≤12．

（3）解：由（2）可得：

OP

BG

=

1

2

，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)M作直線MN⊥AB于點(diǎn)N，交GD于點(diǎn)K，則四邊形BNKG為矩形，
∴NK=BG．

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)P在直線MN上時(shí)，等號(hào)成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
當(dāng)點(diǎn)K在線段MN上時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，2OP+PM的值最小，最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，主要考查了相似三角形與圓的相關(guān)知識(shí)．圖中線段較多，注意理清關(guān)系．第（1）（2）問(wèn)考查幾何基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大；第（3）問(wèn)考查幾何最值問(wèn)題，有一定的難度．需要注意的是：線段的性質(zhì)（兩點(diǎn)之間線段最短）是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的最值問(wèn)題的基礎(chǔ)，典型的展開(kāi)圖-最短路線問(wèn)題、軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，均是利用這一性質(zhì)，希望同學(xué)們能夠舉一反三、觸類(lèi)旁通．