Question

如圖，在直角坐標系xOy中，△ABC的頂點坐標為A（-8，0），B（3，0），C（0，4）．動點P從點A出發(fā)，沿著AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；動點Q從點B出發(fā)，沿著射線BC，以每秒1個單位長度的速度運動，當點P到達B時，點Q也停止運動．P，Q兩點同時開始運動，設運動時間為t秒．
（1）求線段BC的長度；
（2）當△APQ為等腰三角形時，求t的值；
（3）設△APQ的外接圓的圓心為M，當點C在⊙M上時，請求出t的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）在Rt△BOC中運用勾股定理就可求出BC的長；
（2）由于等腰△APQ的腰沒有確定，因此需分三種情況（①PA=PQ，②QA=QP，③AP=AQ）討論，作QH⊥x軸，垂足為H，然后利用等腰三角形的性質及勾股定理建立關于t的方程，就可解決問題；
（3）根據圓周角定理可得∠PQC=∠PAC，從而證到△BAC∽△BQP，然后利用相似三角形的性質得到關于t的方程，就可解決問題．

解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，4），
∴OB=3，OC=4．
在Rt△BOC中，
∵∠BOC=90°，
∴BC=

OB2+OC2

=5．

（2）①當PA=PQ時，作QH⊥x軸，垂足為H，如圖1，

由題可得：PQ=PA=BQ=t．
∵A（-8，0），B（3，0），
∴OA=8，OB=3，∴AB=11．
∵sin∠HBQ=

QH

BQ

=

OC

BC

=

4

5

，cos∠HBQ=

BH

BQ

=

OB

BC

=

3

5

，
∴QH=

4

5

t，BH=

3

5

t．
∴PH=

.

11-t- 3 5 t

.

=

.

11- 8 5 t

.

．
在Rt△PHQ中，
∵QH²+PH²=PQ²，
∴(

4

5

t)2+(11-

8

5

t)2=t2．
解得：t₁=5，t₂=11．
②當QP=QA時，作QH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

則AH=PH=

1

2

AP=

1

2

t，BH=11-

1

2

t．
又∵BH=

3

5

t（已證），
∴

3

5

t=11-

1

2

t．
解得：t=10．
③當AP=AQ時，作QH⊥x軸，垂足為H，如圖3，

則有AQ=AP=t．
在Rt△AHQ中，
∵QH²+AH²=AQ²，QH=

4

5

t，AH=11-

3

5

t，AQ=t，
∴（

4

5

t）²+（11-

3

5

t）²=t²．
解得：t=

55

6

．
終上所述：當△APQ為等腰三角形時，t的值為5、11、10、

55

6

．

（3）當點C在⊙M上時，如圖4．

則有∠PQC=∠PAC．
∵∠PBQ=∠CBA，∠PQB=∠CAB，
∴△BAC∽△BQP，
∴

BA

BQ

=

BC

BP

．
∴BA•BP=BC•BQ．
∵BA=11，BP=11-t，BC=5，BQ=t，
∴11（11-t）=5t．
解得：t=

121

16

．
∴當點C在⊙M上時，t的值為

121

16

．

點評：本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數學思想，有一定的綜合性．