Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F.

（1）求證：DE為⊙O的切線.

（2）求證：AB︰AC=BF︰DF.

Answer 1

（1）證明：連結DO、DA

∵AB為⊙O直徑

∴∠CDA=∠BDA=90°

∵CE=EA

∴DE=EA

∴∠1=∠4

∵OD=OA

∴∠2=∠3

∵∠4+∠3=90°

∴∠1+∠2=90°

即：∠EDO=90°

∴DE為⊙O的切線         

（2）∵∠3+∠DBA=90°

             ∠3+∠4=90°

∴∠4=∠DBA

∵∠CDA=∠BDA=90°

∴△ABD∽△CAD

∴=           

∵∠FDB+∠BDO=90°

  ∠DBO+∠3=90°

又∵OD=OB∴∠BDO=∠DBO∴∠3=∠FDB∵∠F=∠F∴△FAD∽△FDB

∴=            

即：AB：AC=BF:DF