Question

（2011•東臺(tái)市二模）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求證：D為BC的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC，于F，若AF=

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4

，BC=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及三線(xiàn)合一定理即可證得；
（2）先根據(jù)垂徑定理，求得AE=2AF=

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2

；再運(yùn)用圓周角定理的推論得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，從而可證得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根據(jù)此關(guān)系列方程求解即可得⊙O的直徑．

解答：解：（1）連接AD

∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；
（2）∵OF⊥AC于F，AF=

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4

，
∴AE=2AF=

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2

連接BE，
∵AB為直徑 D、E在圓上
∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°
∴在△BEC、△ADC中，
∠BEC=∠ADC，∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
即CD：CE=AC：BC
∵D為BC中點(diǎn)
∴CD=

1

2

BC
又∵AC=AB
∴

1

2

BC²=CE•AB
設(shè)AB=x，可得  x（x-

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2

）=2，解得x₁=-

1

2

（舍去），x₂=4．
∴⊙O的直徑為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，應(yīng)注意發(fā)散思維能力的培養(yǎng)．