Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，半徑OD⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的切線與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAB=∠BFD，于是得到結(jié)論；
（2）利用垂徑定理得出AE的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵DF與⊙O相切，
∴DF⊥OD，
∵OD⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半徑OD垂直于弦AC于點(diǎn)E，AC=8，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$．
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10$=5，
在Rt△AEO中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AE}{DF}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{DF}$，
∴DF=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，得出△OAE∽△OFD是解題關(guān)鍵．