Question

（2012•衢州二模）如圖，平面直角坐標系中，直線y=

3

3

x與直線x=3交于點P，點A是直線x=3與x軸的交點，將直線OP繞著點O、直線AP繞著點A以相同的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直線交點始終為P，當直線OP與y軸正半軸重合時，兩條直線同時停止轉(zhuǎn)動．
（1）當旋轉(zhuǎn)角度為15°時，點P坐標為

（

3+ 3

2

，

3+ 3

2

）

；
（2）整個旋轉(zhuǎn)過程中，點P所經(jīng)過的路線長為

2 3

3

π

．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意可求得旋轉(zhuǎn)前點P的坐標，即可得OA的長，當旋轉(zhuǎn)角度為15°時，過點P作PC⊥OA于C，作AB⊥OP于B，由∠POA=30°+15°=45°，∠OAP=90°-15°=75°，利用解直角三角形的知識可求得點P的坐標；
（2）可得整個旋轉(zhuǎn)過程中，點P所經(jīng)過的路線是圓�。�根據(jù)題意作出圖形，然后設(shè)P₂是

P1P3

的中點，D是圓心，連接P₂D并延長，交P₁P₃于點C，交OA于E，連接P₂A，P₂O，P₁D，利用垂徑定理，可求得半徑的長，由特殊角的三角函數(shù)值，求得圓心角的度數(shù)，然后利用弧長公式求解即可求得答案．

解答：解：∵直線y=

3

3

x與直線x=3交于點P，
∴點P的坐標為：（3，

3

），
∴OA=3，
∴tan∠POA=

PA

OA

=

3

3

，
∴∠POA=30°．
（1）如圖，當旋轉(zhuǎn)角度為15°時，
過點P作PC⊥OA于C，作AB⊥OP于B，
∵∠POA=30°+15°=45°，∠OAP=90°-15°=75°，
∴∠BAO=∠POA=45°，
∴∠BAP=∠OAP-∠BAO=75°-45°=30°，
在Rt△OAB中，OB=AB=OA•cos∠POA=3×

2

2

=

3 2

2

，
在Rt△ABP中，BP=AB•tan∠PAB=

3 2

2

×

3

3

=

6

2

，
∴OP=OB+BP=

3 2

2

+

6

2

，
在Rt△OCP中，OC=PC=OP•sin∠POA=（

3 2

2

+

6

2

）×

2

2

=

3+ 3

2

，
∴點P的坐標為：（

3+ 3

2

，

3+ 3

2

）；

（2）整個旋轉(zhuǎn)過程中，點P所經(jīng)過的路線是圓弧．
當兩條直線停止轉(zhuǎn)動時，點P到點P₃處，如圖2，
則∠AOP₃=90°，
∴OP旋轉(zhuǎn)了60°，
∴∠OAP₃=90°-60°=30°，
∴OP₃=OA•tan∠OAP=3×

3

3

=

3

；
∴P₁P₃∥OA，
則點P所經(jīng)過的路線如圖3，
設(shè)P₂是

P1P3

的中點，D是圓心，
連接P₂D并延長，交P₁P₃于點C，交OA于E，連接P₂A，P₂O，P₁D，
∴P₂C⊥P₁P₃，P₂C⊥OA，P₁C=P₃C=OE=AE=

1

2

AC=

3

2

，
∴P₂A=P₂O，
∴∠P₂OA=∠P₂AO，
設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x°，
則∠P₂AO=90°-x°，∠P₂OA=30°+x°，
∴90-x=30+x，
解得：x=30，
∴∠P₂OA=60°，
∴P₂E=OE•tan∠P₂OA=

3

2

×

3

=

3 3

2

，
∴P₂C=P₂E-CE=

3

2

，
設(shè)半徑為r，
則r²=（

3

2

）²+（r-

3

2

）²，
解得：r=

3

，
∴CD=r-P₂C=

3

2

，
∴tan∠CP₃D=

CD

P3C

=

3

3

，
∴∠CP₃D=∠CP₁D=30°，
∴∠P₁DP₃=120°，
∴整個旋轉(zhuǎn)過程中，點P所經(jīng)過的路線長為：

120×π× 3

180

=

2 3

3

π．
故答案為：（1）（

3+ 3

2

，

3+ 3

2

）；（2）

2 3

3

π．

點評：此題考查了一次函數(shù)的交點問題、解直角三角形的知識、特殊角的三角函數(shù)值、垂徑定理以及弧長公式等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．