已知平行于x軸的直線y=a(a≠0)與函數(shù)y=x和函數(shù)y=
1
x
的圖象分別交于點A和點B,又有定點P(2,0).
(1)若a>0,且tan∠POB=
1
9
,求線段AB的長;
(2)在過A,B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中,已知線段AB=
8
3
,且在它的對稱軸左邊時,y隨著x的增大而增大,試求出滿足條件的拋物線的解析式;
(3)已知經(jīng)過A,B,P三點的拋物線,平移后能得到y(tǒng)=
9
5
x2的圖象,求點P到直線AB的距離.精英家教網(wǎng)
分析:(1)設(shè)B點坐標(biāo)為(m,n),利用三角函數(shù)求出m與n的值以及點A的坐標(biāo).
(2)依題意可知拋物線開口向下,設(shè)點A(a,a),B(
1
a
,a)求出a值.設(shè)二次函數(shù)為y=k(x+
5
3
)2
把點A代入求得k值以及函數(shù)解析式.
(3)依題意可求出拋物線的對稱軸為x=
a
2
+
1
2a
.把點A的坐標(biāo)代入解析式求出a值.
解答:解:(1)設(shè)第一象限內(nèi)的點B(m,n),精英家教網(wǎng)
則tan∠POB=
n
m
=
1
9

得m=9n,
又點B在函數(shù)y=
1
x
的圖象上,得n=
1
m
,
所以m=3(-3舍去),
點B為(3,
1
3
),
而AB∥x軸,所以點A(
1
3
,
1
3
),
所以AB=3-
1
3
=
8
3


(2)由條件可知所求拋物線開口向下,
設(shè)點A(a,a),B(
1
a
,a),
則AB=
1
a
-a=
8
3
,
所以3a2+8a-3=0,
解得a=-3或a=
1
3

當(dāng)a=-3時,點A(-3,-3),B(-
1
3
,-3),
因為頂點在y=x上,
所以頂點為(-
5
3
,-
5
3
),
所以可設(shè)二次函數(shù)為y=k(x+
5
3
2-
5
3
,
點A代入,解得k=-
3
4
,
所以所求函數(shù)解析式為y=-
3
4
(x+
5
3
2-
5
3

同理,當(dāng)a=
1
3
時,所求函數(shù)解析式為y=-
3
4
(x-
5
3
2+
5
3
;

(3)設(shè)A(a,a),B(
1
a
,a),由條件可知拋物線的對稱軸為x=
a
2
+
1
2a
,
設(shè)所求二次函數(shù)解析式為:y=
9
5
(x-2)(x-(a+
1
a
)+2),
點A(a,a)代入,
解得a1=3,a2=
6
13
,
所以點P到直線AB的距離為3或
6
13
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用,較為復(fù)雜.
練習(xí)冊系列答案
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(2)在過A,B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中,已知線段AB=,且在它的對稱軸左邊時,y隨著x的增大而增大,試求出滿足條件的拋物線的解析式;
(3)已知經(jīng)過A,B,P三點的拋物線,平移后能得到y(tǒng)=x2的圖象,求點P到直線AB的距離.

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