Question

4．如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側邊AO與鍵盤所在面的側邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC=12cm．
（1）當PA=45cm時，求PC的長；
（2）若∠AOC=120°時，“最佳視角點”P在直線PC上的位置會發(fā)生什么變化？此時PC的長是多少？請通過計算說明．（結果精確到0.1cm，可用科學計算器，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）連結PO．先由線段垂直平分線的性質(zhì)得出PO=PA=45cm，則OC=OB+BC=36cm，然后利用勾股定理即可求出PC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27cm；
（2）過D作DE⊥OC交BO延長線于E，過D作DF⊥PC于F，則四邊形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE=DO•sin60°=6$\sqrt{3}$，EO=$\frac{1}{2}$DO=6，則FC=DE=6$\sqrt{3}$，DF=EC=EO+OB+BC=42．再解Rt△PDF，求出PF=DF•tan30°=42×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=14$\sqrt{3}$，則PC=PF+FC=14$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.68＞27，即可得出結論．

解答 解：（1）當PA=45cm時，連結PO．
∵D為AO的中點，PD⊥AO，
∴PO=PA=45cm．
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36cm，PC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27cm；

（2）當∠AOC=120°，過D作DE⊥OC交BO延長線于E，過D作DF⊥PC于F，則四邊形DECF是矩形．
在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=$\frac{1}{2}$AO=12，
∴DE=DO•sin60°=6$\sqrt{3}$，EO=$\frac{1}{2}$DO=6，
∴FC=DE=6$\sqrt{3}$，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．
在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，
∴PF=DF•tan30°=42×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=14$\sqrt{3}$，
∴PC=PF+FC=14$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.68＞27，
∴點P在直線PC上的位置上升了．

點評 本題考查了解直角三角形的應用，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．