Question

如圖，將一矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在y軸正半軸上，OA=2，OC=4，過點E的反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與邊BC交于點F．
（1）若△OAE的面積為1，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大，其最大值為多少？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)三角形AOE面積為1，由OA的長求出AE的長，確定出E坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）根據(jù)矩形OABC，以及OA與OC的長，設(shè)出E坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BE與BF，表示出三角形BEF的面積，由矩形OABC面積減去三角形BEF面積減去三角形OCF面積，表示出四邊形OAEF面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出四邊形OAEF面積的最大值，以及此時k的值，確定出E的位置即可．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，∠OAE=90°，
∵S_△OAE=

1

2

OA•AE=

1

2

×2AE=1，
∴AE=1，即點E的坐標(biāo)為（1，2），
∵點E在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
把E（1，2）代入y=

k

x

得，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；
（2）根據(jù)四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，設(shè)E（

k

2

，2），F(xiàn)（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=8，
∴S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

k

2

+4=-

1

16

（k-4）²+5，
∴當(dāng)k=4時，S_{四邊形OAEF}=5，此時AE=2，
當(dāng)點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．