Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積分別記作S₁、S₂、S₃、S₄，那么下列結(jié)論中，不正確的是（　�。�

• A、S₁=S₃
• B、S₂=2S₄
• C、S₂=2S₁
• D、S₁•S₃=S₂•S₄

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：證三角形相似，再根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，則S_△ABD=S_△ACD，
∴S₁=S₃，故命題正確；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴

S△COB

S△AOD

=（

1

2

）²=

1

4

，
則S₂=2S₄正確．故命題錯(cuò)誤；
C、作MN⊥BC于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M．
∵△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴

OM

ON

=

AD

BC

=

1

2

，即

ON

MN

=

2

3

，
∴

S△OBC

S△ABC

=

2

3

，
則設(shè)S△OBC=2x，則S△ABC=3x，則S△AOB=x，
即S₂=2S₁，故命題正確；
D、設(shè)AD=y，則BC=2y，設(shè)OM=z，則ON=2z，
則S₂=

1

2

×2y×2z=2yz，S₄=

1

2

×y×z=

1

2

yz，
S_△ABC=

1

2

BC•MN=

1

2

×2y•3z=3yz，
則S₁=S₃=3yz-2yz=yz，
則S₁•S₃=y2z2，
S₂•S₄=y2z2，
故S₁•S₃=S₂•S₄正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形面的比等于相似比的平方，高線的比等于相似比，正確表示出S₁、S₂、S₃、S₄，是解決本題的關(guān)鍵．