Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸是直線x=$\frac{5}{2}$，直線y=$\frac{1}{2}$x-4經(jīng)過B，C兩點．
（1）求該拋物線的關(guān)系式；
（2）若在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點P，過點P作PD⊥直線BC，垂足為點D，當∠PBD=∠ACO時，求出點P的坐標；
（3）如圖2，過點C作CE∥x軸交拋物線于點E，連接AE，點F是線段CE上的動點，過點F作FG⊥x軸，交AE于H，垂足為點G，將△EFH沿直線AE翻折，得到△EMH，連接GM，是否存在這樣的點F，使△GHM是等腰三角形？若存在，求出對應的EF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點B坐標，在結(jié)合對稱軸求出拋物線解析式即可；
（2）先求出直線BP的解析式，再聯(lián)立拋物線，解方程組即可；
（3）設(shè)出點F坐標，表示點H坐標，進一步表示線段GH，HF，HM的長度，根據(jù)題意分：GH=GM，GH=HM，GM=NM，分類談?wù)摷纯桑?/p>

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}x-4$過x軸上的點B，
∴點B坐標為（8，0），
∵拋物線與x軸交于點A，B兩點且對稱軸為：x=$\frac{5}{2}$，
∴點A坐標為（-3，0），
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4$；
（2）如圖1

y=$\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4$，令x=0，解得，y=-4，
∴點C（0，-4），
可求：OC=4，0A=3，OB=8，
∵∠PBD=∠ACO
∴tan∠PBD=tan∠ACO=$\frac{3}{4}$，
∵∠DBx=∠ABC，
∴tan∠DBx=tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠PBx=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{4}×\frac{1}{2}}$=2，
∴設(shè)直線BP：y=2x+n，
把點B（8，0）代入，解得：n=-16，
∴直線BP：y=2x-16，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-16}\\{y=\frac{1}{6}{x}^{2}-\frac{5}{6}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以點P坐標為：（9，2）；
（3）如圖2

由CE∥x軸交拋物線于點E，拋物線的對稱軸是直線x=$\frac{5}{2}$，可得，點E（5，-4），
由A（-3，0），運用兩點法可求直線AE的解析式為：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$，
設(shè)點F（m，4），
則點H（m，$-\frac{1}{2}m-\frac{3}{2}$），
∴GH=$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$，HF=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
由題意可得：HM=HF=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
∠CEH=∠HEM，
∵tan∠CEH=$\frac{OC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CEM=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
由題意可證：∠GHM=∠CEM，
∴tan∠GHM=$\frac{4}{3}$，cos∠GHM=$\frac{3}{5}$，
當GH=HM時，GH=HF，
∴$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$=$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}$，
解得：m=1，EF=5-1=4；
當GM=HM時，cos∠GHM=$\frac{\frac{1}{2}GH}{HM}$=$\frac{\frac{1}{4}m+\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：m=$\frac{15}{11}$，此時EF=5-$\frac{15}{11}$=$\frac{40}{11}$，
當GH=GM時，cos∠GHM=$\frac{\frac{1}{2}HM}{GH}$=$\frac{-\frac{1}{4}m+\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：m=$\frac{7}{11}$，此時，EF=5-$\frac{7}{11}$=$\frac{48}{11}$．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求交點坐標和解析式，會聯(lián)立方程組并準確求解，會分類討論等腰三角形是解題的關(guān)鍵．