Question

13．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為3和2，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）寫出這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸；
（3）連接AC、BC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為3和2，可以得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而可以得到這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將第（1）問中求得的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸；
（3）根據(jù)第（1）問的解析式可以求得與y軸的交點(diǎn)，從而可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，由于A、B的坐標(biāo)已知，從而可以求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為3和2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$
解得，b=5，c=-6，
即這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是：y=-x²+5x-6；
（2）∵y=-x²+5x-6=$-（{x}^{2}-5x）-6=-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{5}{2}，\frac{1}{4}$），對稱軸是直線x=$\frac{5}{2}$；
（3）∵y=-x²+5x-6與y軸交于點(diǎn)C，
∴x=0時(shí)，y=-6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-6），
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴${S}_{△ABC}=\frac{（3-2）×|-6|}{2}=3$，
即△ABC的面積是3．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)和用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．